R语言编程数学分析重读微积分微分学原理运用

1 连续性

比如下面这个随机函数

x = seq(0,0.1,0.01)
y = runif(11,0,1)
plot(x,y)
lines(x,y)

x = seq(0,0.01,0.00001)
y = runif(1001,0,1)
plot(x,y)

无论我们把区间缩小到什么程度，这种乱糟糟的仿佛要铺满整个坐标图的点的样式并不会发生变化。

也就是说， f(x)从左边趋近于0的时候，f(x)在0处是连续的，而在右侧趋近于0的时候，却并不连续。此即左连续和右连续的概念。

2 求导

回到切线的问题，如果曲线 y=f(x)在 x0​点并不连续，那么这点显然没有唯一的一条切线。

有的时候，尽管满足了连续性的要求，也不一定存在切线，比如

y = O x O

x = seq(-10,10)
y = abs(x)
plot(x,y,type='l')

在 x=0的位置，我们找到的切线要么和左边重合，要么和右边重合，也就是说这个函数在x=0处存在两条切线。

同时也就意味着这一点有两个斜率，两个导数。所以，如果把导数定义为某种映射，则一个点只能映射为一个值，所以只能定义这点的导数不存在。

3 数值导数

根据导数的定义，当函数的定义域不连续时，其不连续处显然是不存在导数的，但图形可以“欺骗”我们的眼睛。

> x = seq(-1,1,0.1)
> y = sin(x)
> y1 = cos(x)
> xEnd = x+0.1
> yEnd = y+y1*0.1
> plot(x,y)
> for(i in seq_along(x)){
+ lines(c(x[i],xEnd[i]),c(y[i],yEnd[i]),col="red")
+ }

上图中，圆圈是对y = sinx 进行抽样的结果，可以理解为不连续函数；红线则是在每一个分立的点上，sinx在该点的切线。这两者看上去如此一致，说明连续函数的导数在抽样之后仍然具备一定的数学意义。相应地，不连续的函数，也应该有类似于导数一样的存在，从而与连续函数的导数相对应，此即数值导数。如果回顾导数的定义

x = seq(-5,5,0.1)
y = cos(x)
x1 = seq(-5,5,0.1)
end = length(x1)
y1 = (sin(x1[2:end])-sin(x1[1:end-1]))/0.1
x5 = seq(-5,5,0.5)
end = length(x5)
y5 = (sin(x5[2:end])-sin(x5[1:end-1]))/0.5
x10 = seq(-5,5,1)
end = length(x10)
y10 = (sin(x10[2:end])-sin(x10[1:end-1]))/0.5
plot(x,y,type="l",col="red")
lines(x1[2:length(x1)],y1)
lines(x5[2:length(x5)],y5)
lines(x10[2:length(x10)],y10)

如图所示

由于我们采用的是后向差分，所以三组差商的值整体右移。此外，随着 h的增大，其误差也越来越明显。

对一个函数进行反复求导，即可得到高阶导数，可以用数学归纳法的方式记为

4 差商与牛顿插值

根据这个表达式，可以通过一个简单的递归程序计算数组的差商

# 差商算法,x,y为同等长度的数组
diffDiv<-function(x,y){
  end = length(x)
  ind = 2:end #索引
  return(
      if(end==1) y[1]
      else (diffDiv(x[ind],y[ind])
          -diffDiv(x[ind-1],y[ind-1]))/(x[end]-x[1])
  )
}

如果要计算阶数为k的差商，只需重复调用diffDiv，

kDiffDiv <- function(x,y,k){
  len <- length(x)
  if(len<k) return(0)
  d<-rep(0,len-k)
  for(i in 1:(len-k))
      d[i] <- diffDiv(x[i:(i+k)],y[i:(i+k)])
  return(d)
}

据此，绘制出 y=x^5这个函数的差商，

> plot(x,y)
> k = 1
> lines(x[1:(end-k)],kDiffDiv(x,y,k),col="red")
> k = 2
> lines(x[1:(end-k)],kDiffDiv(x,y,k),col="green")
> k = 3
> lines(x[1:(end-k)],kDiffDiv(x,y,k),col="blue")
> k = 4
> lines(x[1:(end-k)],kDiffDiv(x,y,k),col="purple")
> k = 5
> lines(x[1:(end-k)],kDiffDiv(x,y,k),col="yellow")
> k = 6
> lines(x[1:(end-k)],kDiffDiv(x,y,k),col="gray")

如图所示

可见差商与微分在阶数上有着一致的趋势。那么，知道了差商之后，可以做点什么呢？

根据差商定义，可得

polyMulti<-function(x){
  n = length(x)
  if(n<2) return(c(-x,1))
  omega = rep(0,n+1)
  omega[1] = - x[1]
  omega[2] = 1
  for(i in 2:n){
      omega[2:i] = -x[i]*omega[2:i]*+omega[1:(i-1)]
      omega[1] = -x[i]*omega[1]
      omega[i+1] = 1
  }
  return(omega)
}
Newton<-function(x,y){
  n = length(x)
  N = rep(0,n+1)
  N[1]=y[1]
  for(i in 1:n){
      omega = polyMulti(x[1:i])
      d = kDiffDiv(x[1:i],y[1:i],i-1)
      N[1:i] = N[1:i] + d*omega[1:i]
      N[i+1] = d*omega[i+1]
  }
  return(N)
}

验证一下

x = sort(rnorm(10))
y = x^5+2*x^4
N = Newton(x,y)
Y = y*0
for(i in 1:length(Y))
  for(j in 1:length(N))
      Y[i] = Y[i]+N[j]*x[i]^(j-1)
plot(x,y)
lines(x,Y)

可见效果还是不错的。

5 方向导数

现绘制出100个随机点处x方向的偏导数

x = matrix(data=seq(-5,4.95,0.05),nrow=200,ncol=200)
y = t(x)
z = 1-(x^2+y^2)
library(rgl)
persp3d(x,y,z,col="red")
N = 1000
x0 = rnorm(N)
y0 = rnorm(N)
z0 = 1-(x0^2+y0^2)
x1 = x0+3
z1 = -2*x0*3+z0
for(i in 1:N)
  lines3d(c(x0[i],x1[i]),c(y0[i],y0[i]),c(z0[i],z1[i]),col="green")

从观感上来看，绿线的确是沿着 x x x方向。但是这个切线显然不是唯一的， y y y轴方向显然存在另一条切线。推而广之，一旦坐标系旋转，那么曲面上任意一点处的 x和 y方向均会发生变化。

那么曲面是否存在一个只和曲面特征有关，而与坐标系无关的参数？

在解决这个问题之前，最好先找到曲面某点沿着任意方向的导数。回顾 x方向偏导数的定义

如果导数的方向发生旋转，则可以写为

如果写成矢量形式，则定义梯度

沿这些点梯度方向做一些直线，看看效果如何

x = matrix(data=seq(-5,4.95,0.05),nrow=200,ncol=200)
y = t(x)
z = -(x^2+y^2)
library(rgl)
persp3d(x,y,z,col="red")
theta = seq(-pi,pi,0.01)
x0 = cos(theta)
y0 = sin(theta)
z0 = 1-(x0^2+y0^2)
x1 = x0*0
y1 = y0*0
z1 = z0+2
for(i in 1:N)
  lines3d(c(x0[i],x1[i]),c(y0[i],y1[i]),c(z0[i],z1[i]),col="green")

如图所示，像一顶漂亮的帽子，在某个投影方向看去，和我们熟知的切线如出一辙。

6 全微分

做图如下

theta = seq(-pi,pi,0.1)
x = cos(theta)
y = sin(theta)
plot(x,y,type='l',col='red')
x1 = x*0
y1 = (x1-x)/(-2*x)*(-2*y)+y
for(i in 1:length(theta))
  lines(c(x[i],x1[i]),c(y[i],y1[i]),col='green')

可见，梯度方向对应的是图形的法线方向。对于二维平面内的曲线而言，其法线方向与切线方向垂直。

回顾偏导数的定义

7 法线

相应地最大方向导数的方向即为梯度的归一化

现随机选择一些点，来绘制一下这四个方向的向量

library(rgl)
N = 1500
x<-rnorm(N)
y<-rnorm(N)
z<-1-x^2-y^2
for(i in 1:N){
  lines3d(c(x[i],3*x[i]),c(y[i],3*y[i]),c(z[i],z[i]+1),col='red')
  if(y[i]>0.1)
      lines3d(c(x[i],x[i]),c(y[i],y[i]-1/y[i]/2),c(z[i],z[i]+1),col='green')
  if(x[i]>0.1)
  lines3d(c(x[i],x[i]-1/x[i]/2),c(y[i],y[i]),c(z[i],z[i]+1),col='green')
  lines3d(c(x[i],x[i]*(1-2*z[i])/(2-2*z[i])),c(y[i],y[i]*(1-2*z[i])/(2-2*z[i])),c(z[i],z[i]+1),col='green')
}

可以看到，绿线几乎重新编织了一遍原函数，而红线则刺破了曲面。

8 偏导数和边缘检测

基于偏导数的边缘检测

灰度图像是天然的z=f(x,y)函数，尽管以一种差分化的形式存在。其中x,y分别代表图像坐标系中的坐标 z可以表示灰度图像的灰度值。

那么接下来我们可以观察一下偏导数作用在图像上是一个什么效果。图片当然是最经典的lena

library(imager)
img = load.image("lena.jpg")
dim(img)
[1] 512 512   1   3
gray = grayscale(img)
par(mfrow=c(1,2))
plot(img)
plot(gray)

可见gray显然为灰度图像，从其维度就能看得出来，然后将其变为二维的数组，接下来就可以进行求导操作了。

dim(gray)
[1] 512 512   1   1
mat = array(gray,dim=c(512,512))
mat_x = diff(mat,1)
mat_y = t(diff(t(mat),1))
par(mfrow=c(1,2))
image(mat_x)
image(mat_y)

由于图像坐标系默认是从上向下为 y y y轴，从左向右为 x x x轴，所以在我们熟知的坐标系中，图像是上下颠倒的。而且R语言还非常智能（障）地添加了一层伪彩色，这让我们更加清晰地看出，对图像进行差分操作，提取出了边缘信息。

这很容易理解，所谓“边缘”，往往意味着变化较大的点，如果我们抽取lena图的任意一行，

a=mat[256,]
par(mfrow=c(1,2))
plot(a,type='l')
plot(diff(a,1),type='l')

在变化剧烈处，相应地导数较大。

若将偏导数在图像空间中展开，由于任意两个像素点之间的差恒为1，则可得到其差分形式

Roberts算子

求导是对整个函数的定义域展开的一次性操作，但在考察其差分形式之后却发现，数值偏导数可以写成一种对局部区域的反复操作。

例如，就前向差分而言，可以对图像的任意一个子矩阵

theta = c(pi/3,pi/4,pi/5,pi/6)
par(mfrow=c(2,2))
for(i in 1:4)
image(mat_x[,1:511]*cos(theta[i])+mat_y[1:511,]*sin(theta[i]))

可以看到，最后一张图片的法向角度为 30° ，而其右下角正好有一个 30°附近的清晰的边缘。

其他算子

如果通过中心差分来定义算子，则统一维度后，其x和 y向的梯度算子分别写为

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